Quando pensiamo a numeri famosi in matematica, spesso ci vengono in mente π (pi greco) o l’unità immaginaria i. Tuttavia, un altro numero si affianca a questi per importanza e ubiquità: il numero di Eulero, indicato come e.
Il numero e è spesso collegato a Leonhard Euler, ma fu trovato per la prima volta da Jacob Bernoulli nel 1683. Sebbene Bernoulli non fosse specificamente alla ricerca di una nuova costante matematica, scoprì inavvertitamente la prima approssimazione di e durante i suoi studi sull’interesse composto continuo. Questo rende la storia di e particolarmente intrigante: non fu il prodotto di un pensiero matematico astratto, ma piuttosto il risultato di studi finanziari concreti.
e è approssimativamente uguale a 2,71828, anche se, come π, è un numero irrazionale, cioè ha un numero infinito di cifre decimali senza alcuno schema di ripetizione.
e = 2.71828182845
Definizioni comuni di e
Il numero e è una costante matematica approssimativamente uguale a 2,71828. Può essere definito in vari modi, ma ecco tre delle definizioni più comuni:
Definizione di limite
Il numero e può essere definito utilizzando un limite come:
Somma di una serie infinita
e può anche essere espresso come somma di una serie infinita
Definizione di interesse composto
Come scoprì Jacob Bernoulli, il numero e nasce nello studio dell’interesse composto continuo. Se si investe una somma di 1 unità di moneta a un tasso di interesse annuale del 100% e si lascia che l’interesse si componga sempre più frequentemente, la somma di denaro si avvicina a e quando l’interesse è composto in modo continuo:
dove n è il numero di volte in cui l’interesse viene composto all’anno.
Tutte queste definizioni convergono verso lo stesso valore di e, che è approssimativamente 2,71828.
Cosa rende e così speciale?
Crescita e decadimento esponenziale: la funzione esponenziale naturale e^x è fondamentale per comprendere vari fenomeni che comportano crescita o decadimento, come le popolazioni, il decadimento radioattivo e, come scoperto da Bernoulli, l’interesse composto.
Calcolo: e gioca un ruolo fondamentale nel calcolo. La funzione e^x è unica perché è la sua stessa derivata. Questa proprietà è fondamentale per molti concetti e calcoli nelle equazioni differenziali e in altre aree avanzate della matematica.
Numeri complessi: nel regno dei numeri complessi, la formula di Eulero e^ix = cos(x) i sin(x) è una profonda relazione tra le funzioni esponenziali e le funzioni trigonometriche. È grazie a questa formula che otteniamo la bellissima identità di Eulero: e^iπ 1 = 0, che collega in modo sorprendente cinque dei numeri più importanti della matematica: 1,e,i,π,1 e 0.
Domande aperte
Come per tutte le cose della matematica, c’è sempre qualcosa da esplorare. Alcune domande e argomenti intriganti su e includono:
- Come si relazionano con e le altre costanti matematiche, come π e il rapporto aureo?
- Perché la e compare in così tante aree scientifiche, dalla biologia alla fisica quantistica?
- Ci sono applicazioni non ancora scoperte di e nella tecnologia moderna o in innovazioni future?
Ricorda che ogni risposta in matematica spesso porta a una dozzina di altre domande. Quindi, la prossima volta che vedi e, fai un cenno al suo mistero e alla sua meraviglia. Chissà cosa potremmo scoprire su di essa?
